２月度その１６：気になるシリーズ ➡ 円周率小数点以下２進表示5000桁グラフから周期性を抽出する！
気になるシリーズ ➡円周率小数点以下２進表示5000桁グラフから周期性を抽出する！
この黒点サイトでは、「太陽黒点数の推移」「太陽黒点数とS&P500、VIXとの相関」「エルニーニョ南方振動ELSOと太陽黒点数との相関」の太陽黒点に関連した３記事を毎月の初めに定期更新しています
しかしながら、ベッドで寝っ転がっていると漠然と頭に浮かんで来る疑問がありまして、それは私にとっての未解決問題もしくは気に掛かる問題なのです
前回の記事「２月度その１５：気になるシリーズ ➡ 円周率小数点以下２進表示5000桁までの０出現％を測定！ - なぜ地球磁極は逆転するのか？」では２進表示小数点以下5000桁までのグラフを取りましたが、今回、そのグラフから周期性の抽出を行ってみましたので、報告致します
お付き合い頂ければ幸いです
まず、前回の小数点以下5000桁のグラフは：
100桁スタートで100桁ピッチで5000桁まで
今回は最大値5000桁はそのままで、グラフ精度を上げました、即ち：
10桁スタートで10桁ピッチで5000桁まで、です
結果、グラフはY軸50%を0表示させて：
となりました、精度を上げているので折れ線グラフで表示しています
スタートの10桁辺りでは、Y軸は±10(%)を越えて振れている事が分かります、また、5000桁近辺ではマイナス側にシフトしています
さて、ここから周期性を抽出しよう、という訳です
言語はRを使います、上記グラフの横軸は桁数ですが、周期性の検出には横軸を時系列とする必要があります（当たり前ですが）
そこで、Rにはデータを時系列変換する機能がありまして、それを適用すると：
こうなり時系列軸グラフとなります、縦軸は0(zero)値出現頻度%で50%をゼロとし、横軸は10スタート10ピッチ5000までの時系列
これを見ますと「これはランダム」と感じます、特定の周期があるようには見えません
そこで、Rによる周波数解析機能であるスペクトラム解析を行います、スペクトラム解析を行う為には事前にARモデル（AutoRegressiveモデル：自己回帰モデルの事、周期性の検出とは自分が自分に戻って来る事象の認識である）をRは多数自動作成し、最も周期性が検出されたARモデルからスペクトラム・グラフを作成します、この例では数十種類のARモデルを作成し、22番目のARモデルが最も周期性が検出されたので、そこからスペクトラム・グラフを作成しています
Y軸は強度です、X軸は周波数ですが、フーリエ解析を内部で行っており、最大解析周波数は1.0に正規化されていて、フーリエ解析では最大解析周波数の1/2までが有効である事から0.5をグラフ上の最大値として表示しています
1.0の周波数値が幾つであるのかはスグには分かりません、Rは自動化が極めて進んでおり結果は出て来てしまうのですが、その際のパラメータの意味解釈は難解です、ここではひとまず0.5までの周波数を相対的に理解する事とします
考察：
１．時系列グラフを見るとランダムなノイズであるように見える、スペクトラム解析してみると８個の周波数ピークが現れている、これがもし完全なランダム・ノイズ（白色雑音）であれば理論的には全周波数成分が現れる訳で、完全なるランダム・ノイズからは程遠いと言える
即ち、小数点以下2進表示5000桁までの0値表示において、８個程度の周期が検出される程度のノイズ状態である、と言える ⬅ これをπノイズ・スペクトラムと称しても良い
Wikiによれば、円周率はランダムではあるが特徴を掴みづらい独特性（この表現はナカナカ面白い表現）がある、との事であったので、そのランダム性を表現する手段として「８個程度のピークを有するランダムなスペクトラム」をπノイズ・スペクトラムとするものである（但し、5000桁まで）
２．ここで5000桁の意味をもう一度考えてみよう、最初の10桁では10桁内に出現した0値の%である、最後の5000桁では5000桁内に出現した0値の%である、即ち、右側後半の数値は左側前半の数値を包含して解析され%表示されているのである
ランダムウォークと比較してみよう、あるXY地点から方向ランダムに10歩直線で進み、再び方向ランダムで10歩直線で進み、、、を5000歩500回繰返した時、最初のXY地点に対し北側領域にいる確率と南側領域にいる確率の％比率はどれくらいか？を考えてみれば、最終的には、これは50%vs50%となるだろう（ランダムウォークは完全なるランダムである、即ち白色雑音に漸近する）
ここで、ランダムウォークにおける南側（0値を南として）存在周期を調べた時に現れるランダムウォークのノイズ・スペクトラムとπノイズ・スペクトラムは同じになるか？という問題が考えられる！
これは恐らく異なるのではなかろうか？ これが円周率のランダム性の特徴となるのではないか？と思われる
但し、実験してみる必要がある
３．円周率の記事もこれで３回、次々と課題が現れて来ますが、一旦ここで打ち切りとさせて頂きたく
以上、長い事お付き合い頂き、誠にありがとう御座いました
感謝です
